はじめに
翼のまわりで空気が加速する。プロペラが空気を後ろへ押し出す。翼の表面に沿って流れていた空気が剥がれる。これらの現象を考える土台が、流体力学の基礎方程式です。
見慣れない記号が多くなりますが、出発点は「質量保存」「運動量保存」「エネルギー保存」の3つです。本記事では、それぞれの物理的な意味を整理し、オイラー方程式とナビエ・ストークス方程式がどのようにつながるのかを説明します。
- 流れを表す量と、方程式の読み方
- 連続の式（Conservation of Mass）
- 運動量保存（Conservation of Momentum）
- ナビエ・ストークス方程式（Navier–Stokes Equations）
- オイラー方程式（Euler Equations）
- エネルギー保存（Conservation of Energy）
- ベルヌーイの式との関係
- 方程式だけで流れは決まらない
- まとめ
流れを表す量と、方程式の読み方
ここでは空気を連続体として扱い、各位置・各時刻に密度ρ、圧力p、速度ベクトルu、温度Tが定まると考えます。速度ベクトルは向きと大きさを持ち、その大きさをVと表します。
- ρ：密度［kg/m³］
- p：静圧［Pa］
- u：速度ベクトル［m/s］、V：速さ［m/s］
- t：時間［s］、T：絶対温度［K］
∂は、ほかの変数を固定して変化を調べる「偏微分」の記号です。∇（ナブラ）は空間方向の微分をまとめた記号で、∇pは圧力の勾配、∇uは速度の発散を表します。発散は、微小な領域から流れがどれだけ広がって出ていくかを表す量です。
D/Dt=∂/∂t+(u·∇)
D/Dtは、流体の小さな塊を追いかけて見た変化を表す「物質微分」です。固定した場所での時間変化に加え、流体が別の場所へ移動することで受ける変化も含みます。そのため、定常流でも、流れに沿って速度が変われば加速度Du/Dtはゼロになりません。
連続の式（Conservation of Mass）
連続の式は、質量保存を表します。ある領域へ入る質量と出る質量が等しくなければ、その差だけ領域内の質量が増減します。質量の湧き出しがない流れでは、次のように表せます。
∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0
第1項はその場所での密度の時間変化、第2項は単位体積から正味で流れ出る質量流量を表します。両項の単位はkg/(m³·s)です。
流体の塊の密度が変化しない非圧縮性流れでは、Dρ/Dt=0なので、連続の式は次の形になります。
∇u=0
これは流速が一定という意味ではありません。ある方向に加速しても、ほかの方向への広がりや流路の変化とのつり合いによって、質量保存は満たされます。
入口と出口が1つずつある定常な流路で、断面内の密度と流速を一様とみなすと、質量流量ṁは次のようになります。
ṁ=ρAV=一定
ρ₁A₁V₁=ρ₂A₂V₂
ここで、ṁは質量流量［kg/s］、Aは流れに垂直な断面積［m²］です。両断面で密度が同じならA₁V₁=A₂V₂となります。例えば、断面積が0.30m²から0.20m²へ狭くなり、入口流速が8 m/sなら、出口流速は12 m/sです。これは定常・同密度・漏れなしという条件での計算例です。
圧縮性流れでは密度も変化するため、断面積だけを見て流速を決めることはできません。参考：NASA：Conservation of Mass
運動量保存（Conservation of Momentum）
運動量保存は、流体にニュートンの運動法則を適用したものです。流体の加速度は、圧力による力、粘性による力、重力などによって決まります。体積に働く力を重力だけとすると、局所的な運動方程式は次の形で表せます。
ρ Du/Dt=−∇p+∇τ+ρg
- ρ Du/Dt：単位体積当たりの質量×加速度
- −∇p：圧力差による力
- ∇τ：粘性応力による力
- ρg：重力による力
τは粘性応力テンソル［Pa］、gは重力加速度ベクトル［m/s²］です。テンソルは、面の向きと力の向きに応じた応力の成分をまとめた量です。式の各項はN/m³で、単位体積当たりの力に対応します。圧力が高い側から低い側へ流体を押す働きがあるため、圧力項にはマイナスが付きます。ただし、実際の加速度は粘性や重力も含めた合力で決まります。翼のまわりの流速と圧力を考える際も、両者はこのつり合いを通じて結び付いています。
ナビエ・ストークス方程式（Navier–Stokes Equations）
ニュートン流体では、粘性応力と速度の変形率を粘性係数で結び付けます。この関係を運動方程式へ代入すると、ナビエ・ストークス方程式が得られます。ここでは非圧縮性・粘性係数μが一定の場合を示します。
ρ[∂u/∂t+(u·∇)u]=−∇p+μ∇²u+ρg
μは粘性係数［Pa·s］、∇²は空間の2階微分を足し合わせるラプラシアンです。μ∇²uは、粘性によって速度差がならされ、運動量が周囲へ伝わる効果を表します。この式は連続の式∇u=0と組み合わせて使います。
空気には小さくても粘性があります。翼表面の摩擦や境界層、剥離を扱うには、その効果が重要です。レイノルズ数が大きい流れでも、壁の近くでは速度勾配が大きくなるため、粘性項を一律に無視できません。
圧縮性流れや粘性係数が変化する流れでは、上の簡略形をそのまま使えません。適切な粘性応力の関係を用い、質量・運動量・エネルギーの式を組み合わせます。「ナビエ・ストークス方程式」という名称は、運動方程式だけでなく、この方程式群を指す場合もあります。参考：NASA：Navier-Stokes Equation
オイラー方程式（Euler Equations）
粘性の影響を無視できる領域では、運動方程式から粘性応力の項を省いて考えます。
ρ[∂u/∂t+(u·∇)u]=−∇p+ρg
これが非粘性流れのオイラー運動方程式です。「非粘性」は「非圧縮性」や「定常」とは別の仮定なので、オイラー方程式でも密度や時間による変化を扱えます。圧縮性流れでは、連続の式やエネルギーの式、状態方程式も必要です。
翼の外側の流れを近似するのに役立つ一方、壁面摩擦や粘性による境界層を直接表せません。どちらの式を使うかは、計算の手軽さだけでなく、調べたい現象に粘性が必要かどうかで判断します。参考：NASA：Euler Equations
エネルギー保存（Conservation of Energy）
エネルギー保存では、流れが運ぶエネルギーと、外から加わる熱・仕事の収支を考えます。ここでは理解しやすいように、入口と出口が1つずつある固定された装置を、定常状態で通過する流れを扱います。各断面の状態を一様と近似すると、代表的な式は次の形です。
Q̇−Ẇs=ṁ[(h₂ − h₁)+(V₂²−V₁²)/2+g(z₂−z₁)]
- Q̇：装置内の流体へ入る熱の割合［W］
- Ẇs：流体が外へする軸仕事などの割合［W］（流動仕事を除く）
- h：比エンタルピー［J/kg］
- z：高さ［m］、g：重力加速度の大きさ［m/s²］
- 添字1：入口、添字2：出口
比エンタルピーはh=e+p/ρです。eは比内部エネルギー［J/kg］で、p/ρは流体を押し込んだり押し出したりする仕事に対応します。右辺の括弧内は、単位質量当たりのエンタルピー・運動エネルギー・位置エネルギーの変化です。
例えば、断熱で軸仕事がなく、高さの差を無視できるノズルでは、h + V²/2が一定になります。流れが加速すると、その分だけ比エンタルピーが低下します。理想気体ではエンタルピーは温度で決まるため、速度と温度を切り離して考えられません。
ここで示したのは装置全体の収支式であり、非定常な流れにもそのまま使える一般形ではありません。場所ごとの温度変化を解く場合は、熱伝導や粘性による仕事を含む局所的なエネルギー方程式を用います。参考：NASA：Conservation of Energy
ベルヌーイの式との関係
定常・非粘性・非圧縮性の流れで、体積力を重力だけとすると、オイラー運動方程式を流線に沿って積分して、ベルヌーイの式が得られます。
p+ρV²/2+ρgz=一定（同じ流線上）
同じ高さなら、静圧pと動圧ρV²/2の和が一定です。ただし、異なる流線の間でも同じ定数になるとは限りません。また、摩擦損失が大きい区間や、プロペラ・圧縮機で流体に仕事が加わる区間をまたいで、この式をそのまま適用することはできません。
摩擦によって機械的エネルギーが内部エネルギーへ変わっても、エネルギーそのものが消えるわけではありません。ベルヌーイの式が使えない場合にも、エネルギー保存は成立します。参考：NASA：Bernoulli’s Equation
方程式だけで流れは決まらない
実際に流れを解くには、物性や条件も必要です。理想気体として扱う空気なら、状態方程式p=ρRTで圧力・密度・温度を結び付けます。ここでRは気体定数［J/(kg·K)］で、温度には絶対温度を使います。
- 境界条件：入口の流速、出口の圧力、壁面の速度や温度など。必要な条件の組合せは流れによって異なります。
- 初期条件：非定常計算を始める時点の速度・圧力・温度など。
- 物性とモデル：粘性係数、熱伝導率、状態方程式など。乱流を平均化して扱う場合には乱流モデルも必要です。
CFDは、これらの方程式を小さな計算領域に分けて数値的に解く方法です。計算結果にきれいな流線が描かれていても、境界条件や近似が不適切なら、実際の現象とは一致しません。まず何を無視し、何を残した式なのかを確認することが大切です。
まとめ
- 連続の式は、流体の質量の収支を表す。
- 運動方程式は、流体の加速度と圧力・粘性・重力による力を結び付ける。
- ナビエ・ストークス方程式は粘性を含み、オイラー方程式は粘性を無視する。
- エネルギーの式は、熱・仕事と流れの持つエネルギーの収支を表す。
- ベルヌーイの式や非圧縮性の式は、適用条件を確かめて使う。
基礎方程式を読むときは、まず各項が「何の変化」や「どの力」を表すかに注目すると、流れの現象と結び付きます。この考え方は、翼に働く揚力や抗力を理解する土台になります。
